Funciones Trigonometricas: 2016

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Angulos Dobles

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que $\alpha = \beta$

$\sen(\alpha+\beta) =\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha$
$\sen 2\alpha =\sen\alpha \cos\alpha + \sen\alpha\cos\alpha = 2\sen\alpha\cos\alpha$
$\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sen\alpha\sen\beta$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sen^2\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo $\cos\alpha$ a términos de $\sen\alpha$ , o convirtiendo $\sen\alpha$ a términos de $\cos\alpha$ :

$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1$
$\cos2\alpha =1-2\sen^2\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

\sen(A) \cos(B) = \sen \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) + \sen \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)

\sen(A) \cos(B) = \frac12 \left( \sen(A+B)+\sen(A-B) \right)

Y para el caso alternativo:

\cos(A) \sen(B) = \sen \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) - \sen \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)

\cos(A) \sen(B) = \frac12 \left( \sen(A+B)-\sen(A-B) \right)